5.2 Kugel Rampe

Wie schnell ist die Kugel am Ende der Rampe?
Diese Aufgabe lässt sich am einfachsten durch die Betrachtung der Energien lösen:

Gegeben: h = 30 cm = 0,3 m, m = 0,5 kg
Zu Beginn hat die Kugel keine Bewegungsenergie sondern ausschließlich Lageenergie:

Wenn die Kugel beginnt hinunterzurollen, dann wandelt sich die Lageenergie Stück für Stück in Bewegungsenergie um, und zwar sowohl in Translationsenergie, als auch in Rotationsenergie.

Die Bewegungsenergie oder man sagt auch kinetische Energie einer Kugel setzt sich also immer aus zwei Energiesorten zusammen: Der Translations- und der Rotationsenergie

Das Trägheitsmoment einer Kugel lässt sich aus einer Tabelle ablesen (siehe Kapitel 5.2): Für eine massive Kugel gilt:
Die Winkelgeschwindigkeit lässt sich auch in Bahngeschwindigkeit umrechnen (siehe 4.2):
Damit wird aus der Rotationsenergie

Für die gesamte kinetische Energie einer rollenden Kugel gilt dann:

Der rechnerische Ansatz

Zu Beginn ist die gesamte Energie Lageenergie und am Ende ist die gesamte Energie Bewegungsenergie. Man kann diese beiden Energien also gleichsetzen:

Bis auf die Geschwindigkeit sind in dieser Gleichung alle Größen bekannt, also braucht diese Gleichung nur nach v umgestellt werden, um die Geschwindigkeit auszurechnen. Das Umstellen der Gleichung sei hier als mathematische Fingerübung den Leserinnen und Lesern selbst überlassen:

Interpretation der Lösung

Bei der Lösung dieser Aufgabe ist ein grundlegendes Prinzip in der Physik angewendetr worden: Rechnen Sie so lange es geht mit Variablen.
Das spart nicht nur Schreibarbeit, man kann daraus etwas lernen: In der Gleichung, die am Ende für v übrigbleibt, ist keine Masse mehr vorhanden. Das heißt egal wie schwer die Kugel ist, sie ist am Ende der Rampe immer gleich schnell. Sogar die Größe der Kugel, die durch den Radius r gegeben ist, spielt offensichtlich keine Rolle für die Geschwindigkeit, die am Ende erreicht wird.

Backlinks:
2 Physikbücher:BGPhysik11-EP:Material