1.5 Genauigkeit eines Ergebnisses

Sie werden gefragt: Wie groß sind Sie? Dann könnten Sie sagen: Etwa 2m. Richtig gerundet ist das in den meisten Fällen richtig. Es könnte auch jemand antworten: 178,45 cm. "Der kennt seine Größe aber genau", werden einige denken. Im ersten Moment klingt das sehr kompetent, wenn man so genau Bescheid weiß. Aber wenn man in Betracht zieht, dass die Körpergröße sich im Laufe eines Tages oft um mehr als einen Zentimeter verändert, dann ist eine so genau Angabe vermutlich nicht richtig und die antwortende Person wird als Angeber:in entlarvt.

Wer in den Wissenschaften eine Zahl angibt, berichtet damit in der Regel nicht nur über eine bestimmte Größe, sondern auch, wie genau diese Größe bekannt ist. Es ist ein Unterschied, ob eine Schraube 2 cm, 2,0 cm oder 2,00cm lang ist. Die letztere Zahl bedeutet, dass die Länge bis auf ein Zehntel Millimeter genau ist.

Erste Grundregel: Immer richtig runden

Wenn ein Ergebnis gerudnet wird, dann gilt: Bis zur Ziffer 4 wird abgerundet und ab 5 aufwärts wird aufgerundet:
1,233 ≈ 1,23
1,234 ≈ 1,23
1,235 ≈ 1,24
1,236 ≈ 1,24

Die schlechte Lösung: Kommastellen

Noch einmal: Wie groß sind Sie, nennen Sie die Antwort auf 2 Kommastellen genau:
178,45 cm
1,78 m
0,00 km
sind diesbezüglich alles richtige Antworten.

Besser: Signifikante Stellen

Ein Rezept für die Bestimmung der Anzahl signifikanter Stellen: Streiche alle führenden Nullen und zähle ab da die Anzahl der Stellen:
Die Körpergröße auf drei signifikante Stellen genau könnte dann sein:
1780 mm
178 cm
1,78 m oder
0,00178 km
Jede dieser Antworten ist gleich genau.

Auf wie viel Kommastellen genau soll ich rechnen?
Das ist eine sehr häufige, aber falsche Frage. Es muss heißen:
Auf wie viel signifikante Stellen soll ich rechnen?

Eine einfache Daumenregel als Antwort

Wenn ich mehrere Zahlen benötige, um mein Ergebnis zu berechnen, dann ist das Endergebnis in der Regel höchstens so genau, wie die ungenauste Zahl, die in der Rechnung verwendet wird.
Eine mögliche Antwort auf diese Frage wäre also: Das Ergebnis hat genau so viel signifikante Stellen, wie die ungenauste Zahl, die in die Rechnung eingegangen ist.
Wenn das jemanden zu ungenau scheint, dann kann man sein Ergebnis auf höchstens eine signifikante Stelle genauer angeben, als die ungenauste Zahl, die in die Rechnung eingeflossen ist, alles andere ist in der Regel Schaumschlägerei.

Sonst Fehlerrechnung

Wer es ganz genau wissen möchte, sollte sich mit Fehlerrechnung beschäftigen. Man kann bei zusammengesetzten Größen sehr genau berechnen, wie groß ein Fehler werden kann, wenn man die Fehler der Größen kennt, die in die Rechnung eingeflossen sind. In den aller meisten Fällen ist aber die oben genannte Daumenregel hinreichend.

Aufgabe

Bei der Angabe eines Ergebnisses mit signifikanten Stellen nimmt man jeweils einen Fehler in Kauf.
Wie groß ist der größte mögliche Fehler bei einer Zahl ...

... mit einer signifikanten Stelle
... mit zwei signifikanten Stellen
... mit drei signifikanten Stellen
usw. ?

Backlinks:
2 Physikbücher:BGPhysik11-EP:1 Die Welt in Zahlen