Namen von Zahlenmengen

Gleich vorweg: Wir rechnen meistens mit den reellen Zahlen. Wenn wir mal nur ganze Zahlen benötigen, dann wählen wir die Mengen der natürlichen oder der ganzen Zahlen. Aber nun von vorne:

Natürliche Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen besteht aus allen ganzen positiven Zahlen:
Die Gelehrten streiten sich darüber, ob die Nulldazugehören soll oder nicht. Daher werden die "Natürlichen Zahlen mit Null" in der Regel extra gekennzeichnet:
Wenn natürliche Zahlen addiert oder multipliziert werden, dann ist das Ergebnis auch eine natürliche Zahl.

Ganze Zahlen

Wenn auch das Abziehen, die Subtraktion erlaubt ist, dann können auch negative Zahlen entstehen. Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus positiven und den negativen ganzen Zahlen und der Null:

Rationale Zahlen

Wenn als Rechenoperation auch das Teilen erlaubt wird, dann entstehen Brüche. Diese lassen sich auch in Dezimalzahlen umwandeln. Die Menge aller möglichen Brüche ist die Menge der rationalen Zahlen. Das einzige, was nicht erlaubt ist, ist das Teilen durch Null. Die Mathematiker schreiben das so:
Diese Symbole heißen übersetzt: Die "Menge der rationalen Zahlen" ( ) "ist gleich" (=) alle Brüche () , "für die gilt", (|) dass a und b Element, also Teil, der Menge der ganzen Zahlen sind () und (∧) b darf nicht gleich null sein (b ≠ 0).
Da Mathematiker recht schreibfaul sind, schreiben sie alles mögliche nur in Symbolen.

Irrationale Zahlen

Es gibt Dezimalzahlen, die nicht als Bruch darstellbar sind. Jeder Bruch lässt sich in eine Dezimalzahl umwandeln. Aber die letzten Ziffern solcher Dezimalzahlen bestehen immer aus einer Zahlenfolge, die sich unendlich oft wiederholt: oder
Es gibt aber auch Dezimalzahlen, bei denen es keine Zahlenfolge gibt, die sich bis zum Ende immer wiederholt. Beispiele dafür sind die Kreiszahl oder und viele andere. Dieses ist die Menge der irrationale Zahlen. Die Irrationalen Zahlen haben das Symbol .

Reelle Zahlen

Alle rationalen und alle irrationaen Zahlen zusammen ergeben die reellen Zahlen:
Das Symbol ∪ heißt in der Mengenlehre "vereinigt mit", d.h. die Menge der reellen Zahen ist die Vereinigung der Mengen der rationalen und der irrationalen Zahlen.

Komplexe Zahlen

Diese Zahlenmenge kommt in der Schule in der Regel gar nicht vor. Man lernt in der Mittelstufe, dass es keine Zahl gibt, die mit sich selber multipliziert -1 ergibt. Das geht ja eigentlich auch nicht, denn es gilt ja "minus mal minus ist plus". Trotzdem ist es in manchen mathematischen Anwendungen hilfreich, doch so eine "imaginäre Zahl" zu haben. Diese Zahl heißt i in der Mathematik und es gilt tatsächlich i²=-1.
Wenn man auch solche imaginäre Zahlen und deren Vielfaches zulässt, dann erhält man die Menge der komplexen Zahlen:

Eine schöne Veranschaulichung der Komplexen Zahlen findet man hier: (Text)(der fünfte Teil des Videos )