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1 Allgemeines zu Funktionen

1.1 Was ist eine Funktion?
1.2 Vokabeln zu Funktionen
1.3 Darstellungsweisen von Funktionen
+1.4 Die Betragsfunktion

1.1 Was ist eine Funktion?

Funktionen bezeichnen in der Mathematik Abhängigkeiten. Das Leben ist voll von Abhängigkeiten.
Ein Beispiel:
Die Dichte der Luft hängt von der Temperatur ab, wenn es wärmer wird, dann bewegen sich die Luftmoleküle schneller und die Dichte der Luft nimmt ab. Dichte wird in der Physik mit dem griechischen Buchstaben ("rho") bezeichnet, für die Temperatur verwendet man oft ein großes "T".
Eine Funktion ist die Beschreibung, wie sich die Dichte von Luft mit der Temperatur verändert. Man schreibt das als Dichte( Temperatur ) oder in Symbolen: . Ausgesprochen bedeutet das "Rho in Abhängigkeit von T" oder "Luftdichte in Abhängigkeit von der Temperatur". man sagt oft auch kürzer einfach "Rho von T".
Andere Abhängigkeiten sind:

  • Benzinverbrauch( zurückgelegte Strecke )
  • Fahrzeit ( Geschwindigkeit )
  • Körpergröße( Alter )
  • ...

1.2 Vokabeln zu Funktionen

Die Größe in der Klammer nennt man unabhängige Variable. Die Größe, die mit Hilfe der unabhängigen Variable berechnet wird, heißt abhängige Variable.

Die Menge aller Zahlen oder Werte, die die unabhängige Variable annehmen kann, nennt man Definitionsbereich oder Definitionsmenge.
Die Menge aller Zahlen oder Werte, die die abhängige Variable annehmen kann, nennt man Wertebereich oder Wertemenge.

Man sagt auch Funktionen sind eine Abbildung der Zahlen der Definitionsmenge auf die Zahlen der Wertemenge. Jeder Zahl aus der Definitionsmenge wird genau eine Zahl aus der Wertemenge zugeordnet. Darum sagt man auch, dass Funktionen eindeutige Abbildungen sind.

Die Temperatur in Abhängigkeit von der Tageszeit ist eine Funktion. Die Tageszeit in Abhängigkeit von der Temperatur hingegen ist in der Regel keine Funktion: Es kann sein, dass es morgens um 9.00 Uhr 10°C warm ist, dann wird es wärmer und am Abend gegen 19 Uhr ist die Temperatur wieder auf 10°C gesunken. Man kann dann von der Temperatur nicht eindeutig auf die Tageszeit schließen. Der Temperatur von 10°C können im oben genannten Beispiel zwei Tageszeiten zugeordnet werden: 9.00 Uhr und 19.00 Uhr. Daher ist die Abhängigkeit Tageszeit( Temperatur ) keine Funktion.

1.3 Darstellungsweisen von Funktionen

Man kann Funktionen auf unterschiedliche Weise beschreiben:
mathematisch: Als Funktionsgleichung
graphisch: Als Funktionsgraph: Siehe auch +Bezeichnungen in einem Koordinatensystem
tabellarisch: Als Wertetabelle
Beispiel: Füllhöhe eines Glases in Abhängigkeit von der Zeit: Video

Funktionsgleichung:

dabei ist H(t) in Millilitern und t in Serkunden angegeben.

Punktprobe:

Wenn ein Punkt P(px|py) gegeben ist, dann lässt sich einfach herausstellen, ob er auf dem Funktionsgraphen von einer Funktion f(x) liegt oder nicht: Setzen Sie die x-Koordinate px des Punktes für x ein und rechnen Sie den Funktionswert aus. Wenn dieser gleich der y-Koordinate py des Punktes ist, dann liegt der Punkt auf dem Graphen von f(x). in allen anderen Fällen nicht.
Alle Punkte P(px|py), für die gilt f(px)=py, liegen auf dem Funktionsgraphen der Funktion f(x).

Wertetabelle:


Ist eine Funktionsgleichung f(x) gegeben, dann kann jeder Punkt in der Wertetabelle ausgerechnet werden. Einfach das x in die Funktionsgleichung einsetzen und das Ergebnis ist die y-Koordinate.

Funktionsgraph


Wenn die Punkte aus der Wertetabelle in ein Koordinatensystem eingetragen werden und wenn man sie mit einer Linie glatt verbindet, dann erhält man den Funktionsgraphen einer Funktion.

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