6.3 Berechnen der Steigung an einer Stelle x

Gesucht ist die Steigung des Graphen einer Funktion f(x) an einer Stelle x = c, bzw. die Steigung im Punkt C ( c | f(c) ).
Als eine erste Näherung für diese Steigung betrachtet man einen zweiten Punkt des Graphen an der Stelle x = c+h, wobei h eine kleine Zahl ist. Der zweite Punkt lautet dann C_h ( c+h | f(c+h) ).
Die durchschnittliche Steigung zwischen C und C_h ist unsere erste Näherung für die Steigung im Punkt C:

Um die Näherung für die Steigung im Punkt C zu verbessern, muss das h, der waagerechte Abstand der Punkte C und C_h, immer kleiner gemacht werden:
→ →
So wird die Näherung für die Steigung im Punkt C immer genauer. Wenn das h unendlich klein ist, dann ist der Wert für die Steigung im Punkt C genau.
In der Mathematik beschreibt man das mit dem Differenzialquotienten:

Die Steigung an einer Stelle x = c , der Differentialquotient

Die Steigung einer Funktion f an der Stelle x = c wird mit dem Differenzialquotienten berechnet. Man nennt diese Steigung die Ableitung der Funktion f an der Stelle c. Wenn eine Funktion abgeleitet wird, dann kennzeichnet man dies mit einem Strich am Funktionsnamen:

Diese Gleichung heißt Differentialquotient. Im Grunde ist es das gleiche wie der Differenzenquotient, nur mit dem davor.

Ein Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f(x)=x² und gesucht ist die Ableitung an der Stelle x = 2. Unser Punkt C lautet also C(2|f(2))=C(2|4):

Dann lautet der Differentialquotient
Hier kann man nicht durch h teilen, wenn h Null werden soll, denn durch Null darf man nicht teilen. Aber es lässt sich ein h ausklammern und dann herauskürzen. Wenn danach kein h mehr im Nenner eines Bruchse steht, dann darf h auch gleich Null gesetzt werden. Denn nun besteht dabei nicht mehr die Gefahr durch 0 zu teilen.

Das heißt die Tangentensteigung oder einfach die Steigung der Funktion f an der Stelle x=2 ist gleich 4.

Schreibweise der Ableitung mit Differentialen

In Physik und Technik wird oft eine andere Schreibweise für Ableitungen verwendet. Der Differentialquotien beschreibt eigentlich ein unendlich kleines Steigungsdreieck. Die Höhe des Steigungsdreieckes ist die Differenz von zwei Funktionswerten der Funktion f und die Breite des Dreieckes ist die Differenz der x-Koordinaten. Wenn man Differenzen meint, dann werden diese in der Physik oft mit dem griechischen Buchstaben "Delta" Δ beschrieben, die Steigung wäre dann f'(x) = Δf(x)/Δx . Wenn die Differenzen nur sehr kleine Beträge sind, dann wird statt der Δf(x) und Δx auch sogenannte Differentiale verwendet. Differentiale werden durch den kleinen Buchstaben d gekennzeichnet: Eine Ableitung einer Funktion f(x) nach der Variablen x heißt dann: oder man findet auch die Schreibweise .

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