6.4 Berechnen der Steigung an einer beliebigen Stelle x - die Ableitungsfunktion

Im Abschnitt 6.3 kann man in einem Beispiel sehen, wie mit Hilfe des Differenztialquotienten die Steigung an einer ganz bestimmten Stelle x = 2 berechnet werden kann, also f'(2).
Wenn man für x keine Zahl einsetzt, sondern einfach die Variable x, dann erhält man eine Funktion f'(x). Diese Funktion nennt sich Ableitungsfunktion oder die erste Ableitung der Funktion f(x).
Setzt man für das x in die Ableitungsfunktion eine Zahl ein, zum beispiel eine 5, dann erhält man die Steigung der Funktion f an der Stelle x = 5. Und das kann man nun an jeder beliebigen Stelle machen. Tatsächlich ist f'(x) eine "richtige" Funktion mit Funktionsgraph und Funktionsgleichung.

Beispiel:

Gegeben ist wieder die Funktion . Dann erhält man die Ableitungsfunktion von f(x) mit Hilfe des Differentialquotienten:

Mit ausklammern und kürzen folgt:

also wenn , dann ist die Ableitungsfunktion

Die Funktion f'(x) ermöglicht es, an jeder Stelle x die Tangentensteigung des Funktionsgraphen von f(x) zu berechnen.

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