7.2 Berechnung von Krümmungen eines Funktionsgraphen an einer Stelle x = c

Für die Betrachtung von Krümmungen eines Funktionsgraphen einer Funktion f(x) betrachtet man die zweite Ableitung der Funktion f''(x). Das heißt man leitet die Funktion einmal ab und das Ergebnis wird noch einmal abgeleitet.
Die erste Ableitung hat immer die Bedeutung einer Änderung. Die zweite Ableitung ist die Änderung der Änderung. Soetwas kommt im Alltag durchaus vor:

"Das Wirtschaftswachstum hat abgenommen" heißt, die Wirtschaft wächst zwar noch (das ist die Änderung) aber dieses Wachstum wird schwächer

Wenn sich eine Steigung positiv ändert, dann wird diese Steigung größer. Zeichnen Sie sich eine Gerade, mit einer bestimmten Steigung und erhöhen Sie diese Steigung dann in Richtung der Abszisse (x-Achse). Was erhält man dabei?
Der Funktionsgraph macht eine Linkskurve!
Wenn sich eine Steigung negativ ändert, dann wird diese Steigung kleiner. Sie kann sogr negativ werden. Zeichnen Sie eine Gerade, mit einer bestimmten Steigung und verkleinern Sie diese Steigung dann in Richtung der Abszisse (x-Achse). Was erhält man dabei?
Der Funktionsgraph macht eine Rechtskurve!

2.1 Zweite Ableitungsfunktion und Krümmungsrichtung eines Funktionsgraphen

Ist der Funktionswert der zweiten Ableitungsfunktion einer Funktion f(x) an einer Stelle x = c größer als Null, dann hat der Funktionsgraph an dieser Stelle eine Linkskrümmung. Oder in mathematischer Kurzform:
Ist der Funktionswert der zweiten Ableitungsfunktion einer Funktion f(x) an einer Stelle x = c kleiner als Null, dann hat der Funktionsgraph an dieser Stelle eine Rechtskrümmung. Oder in mathematischer Kurzform:

2.2 Wie krumm der Funktionsgraph ist, lässt sich an f''(x) nicht ablesen!

2. 100 ☺ Für Neugierige: Der Krümmungsradius (nicht Teil des Unterrichtes an der FOS)

Es gibt aber eine Formel für einen Krümmungsradius eines Funktionsgraphen. Der Krümmungsradius ist der Radius eines Kreises, der sich an der jeweils berechneten Stelle des Funktionsgraphen genau der Krümmung anpasst:

Die Gleichung zur Berechnung des Krümmungsradius ist sehr kompliziert, aber immerhin gibt es eine:
Diese Gleichung ist nicht Teil der Abschlussprüfung der FOS.

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