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8.1 Integralrechnung als Umkehroperation zur Differentialrechnung - Integrationsregeln

Unbestimmte Integrale oder das Berechnen einer Stammfunktion

Integrieren ist das Gegenteil von Differenzieren (Ableiten)

Dabei haben Integrale eine seltsamer Schreibweise: Während man beim Differenzieren einfach einen kleinen Strich rechts oben an den Funktionsnamen schreibt (z.B. f(x) und f'(x)), wird beim Integrieren die zu integrierende Funktion zwischen ein s-förmiges Integralzeichen ∫ und das Differential dx geschrieben, also ∫ f(x) dx . Warum das so ist, wird später erklärt, wenn die sogenannte Riemann‘sche Herleitung der Integralrechnung besprochen wird. Wenn die freie Variable nicht x sondern zum Beispiel t heißt, dann heißt das Integral: ∫ f(t) dt

Da Integrieren das Gegenteil vom Ableiten ist, reden manche Schüler zu Beginn auch vom "Aufleiten". Das hilft zwar, sich diesen Umstand zu merken, es ist aber eigentlich der falsche Begriff. Mathematiker sprechen nicht vom Aufleiten, sondern vom Integrieren.

Eine typische Fragestellung der Integralrechnung

In der Sprechweise der Differenzialrechnung ist die Fragestellung beim Integieren:

  • Gegeben ist die Ableitungsfunktion f'(x) = 3 · x2 + 2 · x wie lautet dazu die Funktion f(x) ?

In der Sprache der Integralrechnung lautet die gleiche Aufgabe so:

  • Gegeben ist die Funktion f(x) = 3 · x2 + 2 · x wie lautet dazu die Stammfunktion F(x) = ∫ f(x) dx ?

Die Lösung ist: Die Stammfunktion lautet F(x) = x3+x2
Es lässt sich sehr leicht überprüfen, ob das stimmt. Denn wenn man F(x) wieder ableitet, dann erhält man wieder f(x): F'(x) = f(x)=3 · x2 + 2 · x
Das heißt, wenn eine Stammfunktion gegeben ist, dann läst sich die Funktions selbst wieder herstellen, indem man die Stammfunktion einfach ableitet. Das klappt meistens ...

Die Integrationskonstante

Mit der Integration kann man also Ableitungen wieder "rückgängig machen". Dabei kann es allerdings zu kleinen "Fehlern" kommen:
Sehen wir uns noch einmal f(x) = 3 · x2 + 2 · x aus dem Beispiel oben an. Im Folgenden stehen drei Funktionsgleichungen, welche davon ist die Stammfunktion von f(x)?

  • F1(x) = x3 + x2
  • F2(x) = x3 + x2 + 10
  • F3(x) = x3 + x2 + 21

Die Antwort ist: Alle drei sind Stammfunktionen von f(x), denn Beim Ableiten fallen die konstanten Zahlen am Ende, die 10 oder die 21, weg. Wenn eine Stammfunktion berechnet werden soll, dann ist das Ergebnis der Integration daher nicht eindeutig. Man kann zur die Stammfunktion jede beliebige konstante Zahl addieren oder subtrahieren und es ist immer noch eine Stammfunktion von f(x).

Um sich daran zu erinnern, schreibt man an das Ende einer Stammfunktion eine Integrationskonstante "+c".
Beispiel: f(x) = 3 · x2 + 2 · x, dann ist F(x) = ∫ f(x) dx = x3 + x2 + c

Integrationsregeln

Genau wie es eine Potenz-, eine Faktor und eine Summenregel für die Differenzialrechnung gibt (siehe Kapitel 6.5), so gibt es auch Rechenregeln für das Integrieren von Funktionen:
Da jede dieser Regeln selten für sich alleine angewendet wird, wird hier die Integrationsvariable erst einmal weggelassen. Diese hängt man nach der Anwendung aller nötigen Integrationsregeln ganz zum Schluss an die Stammfunktion.

Die Potenzregel der Integralrechnung

Ein Beispiel:

Die Faktorregel der Integralrechnung

Ein Beispiel:

Die Summenregel der Integralrechnung

Ein Beispiel:

Weitere Beispiele

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