8.4 Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung

Berechnen von bestimmten Integralen -

der Hauptsatz der Integral- und der Differentialrechnung

Gegeben sind die beiden Funktionen F(x) und f(x) und zwei Zahlen a und b. Für die Funktionen gilt F'(x)=f(x).
Dann gilt:

a und b nennt man die Integrationsgrenzen.
Ein Integral mit Integrationsgrenzen nennt man ein bestimmtes Integral.

Ist a kleiner als b, dann ist F(b)-F(a) die Flächenbilanz der Flächen, die vom Funktionsgrafen und der Abszisse eingeschlossen werden. Flächen, die unter der Abszise liegen sind dabei negativ und Flächen über der Abszisse sind positiv (siehe Kapitel 8.3).

Rechenbeispiele:

Im ersten Beispiel ist die gesamte Fläche des Funktionsgraphen über der Abszisse. Darum sind hier Flächenbilanz und Fläche das gleiche.

Hier ein Beispiel mit positivem und negativem Flächenanteil: