1.2 Harmonische Schwingungen - Federpendel
Harmonische Schwingungen treten immer dann auf, wenn die rückstellende Kraft proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage ist.
Soetwas ist bei einem Federpendel der Fall, mit gewissen Einschränkungen auch bei einem Fadenpendel. Aber auch Spannung und Stromstärke bei Wechelstrom lassen sich mit einer harmonischen Schwingungsgleichung beschreiben.
2.1 Das Federpendel: Harmonische Schwingungsfunktion und ihre Ableitungen
Bei einem Federpendel ist die Rückstellende Kraft durch das Hook'sche Gesetz gegeben: 
. Das Minuszeichen deutet an, dass die Kraft immer entgegen der Bewegungsrichtung wirkt. Hier ist also die Rückstellkraft F proportional zur Auslenkung s mit der Federkonstante D als Propotionalitätsfaktor.
Im folgenden werden Schwingungen ohne Offset betrachtet, weil durch eine geeignete Wahl der Skala der Ordinate der Offset zu Null gemacht werden kann.
Betrachten wir eine Federschwingung (Hier ist ein animiertes Bild).
Die Auslenkung aus der Ruhelage kann durch folgende Funktion beschrieben werden:
Die Ableitung von s(t) beschreibt, wie sich die Auslenkung mit der Zeit ändert.
Wie immer in der Physik erhält man also mit der Ableitung des Weges nach der Zeit eine Funktion, die die momentane Geschwindigkeit wiedergibt:
Die Änderung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung. Daher ist die zweite Ableitung des Weges s oder die erste Ableitung der Geschwindigkeit der Geschwindigkeit v eine Funktion für die momentane Beschleunigung:
Mit gilt also für eine Harmonische Schwingung:
2.1.1 Differenzialgleichung für harmonische Schwingungen
Eine Gleichung, die als Variablen eine Funktionsgleichung (hier s(t)) und ihr Ableitungen enthält, nennt man Differenzialgleichung.
2.1.2 Die Periodendauer eines Federpendels
Aus der Mechanik ist auch bekannt, das 
also gilt für harmonische Schwingungen: 
Die rückstellende Kraft ist bei einem Federpendel mit dem Hoo'kschen Gesetz F(t)=-D·s(t) gegeben. Also gilt für ein Federpendel:
Aufgelöst nach 
erhält man einen Ausdruck für die Kreisfrequenz bei der Schwingung eines Federpendels:
diese Gleichung kann mit 
zur Periodendauer 
umgeformt werden:
2.1.3 Experiment: Federkonstante eines Federpendels bestimmen
Wenn die Gleichung der Periodendauer nach der Federkonstante D umgestellt wird, dann erhält man 
Wenn bei einer schwingenden Feder die Masse und die Periodendauer experimentell bestimmt werden, dann kann man daraus also die Federkonstante einer Feder bestimmen.
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Backlinks:
2 Physikbücher:BGPhysik12-2
2 Physikbücher:BGPhysik12-2:1.3 Harmonische Schwingungen - Fadenpendel