1.3 Harmonische Schwingungen - Fadenpendel
Im Kapitel über das Federpendel wurde die Differenzialgleichung für eine harmonische Schwingung hergeleitet: 
3.1 Die Rückstellkraft des Fadenpendels
Was ist die zurückstellende Kraft bei einem Fadenpendel?
Das soll auf der folgenden Grafik veranschaulicht werden:
Die Gewichtskraft Fg teilt sich auf in die Kraft, die den Faden spannt FFaden und die Rückstellkraft FRück .
Da die Rückstellkraft senkrecht zu FFaden wirkt, ist hier ein rechtwinkliges Dreieck. Mit dem Winkel α, der die Auslenkung des Fadenpendels beschreibt, lassen sich folgende Gleichungen ablesen:
und
In Bogenmaß gilt für den Winkel 
, weil die Länge des Fadens als Radius der Kreisbahn verstanden weredn kann, auf der sich das Gewicht am Faden bewegt.
Also ist die Rückstellende Kraft: 
Hier gilt also nicht, dass die Rückstellende Kraft proportional zur Auslenkung ist (wegen der Sinusfunktion).
Aber hier verwenden die Physiker einen ganz passable Näherung: Für kleine Winkel gilt sin(x) ≈ x.
In der folgenden Geogebra-App kann man das ausprobieren: https://www.geogebra.org/m/esxqjura
Mit dieser Näherung gilt - für kleine WInkel - 
Also 
und mit 
entsteht die Gleichung: 
Die Periodendauer eines Fadenpendels
Ein Vergleich mit der Differentialgleichung für harmonische Schwingungen ergibt (s.o.)
Da 
wird daraus eine Gleichung für die Periodendauer
Hierbei mag es einige überraschen, dass die Masse 
in der Gleichung nicht vorkommt. Da die Erdbeschleunigung 
konstant ist, hängt die Periodendauer eines Pendels - bei kleinen Auslenkungen - nur von der Länge des Fadens ab.
3.2 Experiment - Bestimmung der Erdbeschleunigung g mit einem Fadenpendel
Wenn die Gleichung für die Periodendauer nach 
umgestellt wird, dann erhält man 
.
Wenn in einem Experiment die Länge des Fadenpendels von der Aufhängung bis zum Masseschwerpunkt gemessen wird und eine Schwingungsdauer 
bestimmt wird, dann lässt sich so ein experimenteller Wert für die Erdbeschleunigung herausfinden.
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Backlinks:
2 Physikbücher:BGPhysik12-2